Såhär förstår jag det

Såhär förstår jag det. Det kanske inte stämmer. Jag skulle bli förvånad om det faktiskt stämde. Men det är ingen som lär oss detta så jag måste försöka själv.

Först siffrorna, eller om det är talen eller numrena. Ingen har förklarat skillnaden. Efter egen eftersökning förstår jag det såhär. Siffrorna är som bokstäverna, tillsammans bildar siffrorna nummer, numren är alltså som orden. Talen är det som numren betecknar, matematiska objekt. Rena abstraktioner. (Det är fantastiskt.) Siffror och nummer är enkla saker, något man nästan inte behöver lära sig alls. Rena självklarheter. Det är talen som är grejen. Det börjar med de naturliga talen. Ett, två, tre, och så vidare. En uppenbar, självklar, direkt koppling till verkligheten, den här världen framför oss. Det finns en, två, tre, och så vidare, pennor här på skrivbordet. De här talen är naturliga. Vi kan börja räkna med talen, lägga till och ihop. Två och tre blir fem. Men om vi vill ta bort mer än vad som finns räcker inte de naturliga talen till. I världen framför oss ser vi aldrig minus två pennor. Antingen en, två, tre, och så vidare, eller ingen alls. När vi lägger till det negativa får vi de rationella talen. De finns inte i naturen men vi förstår dem, de är självklara för förståndet. Det är samma med divisionen. Egentligen subtraherar vi bara fortfarande. Att dela tio med fem är att räkna hur många gånger fem kan subtraheras från tio. Med bråken kan vi uttrycka oändligt specifika tal, till exempel en tredjedel. Det går inte att skriva med naturliga tal eftersom det blir 0,333… och fortsätter oändligt. Bråken är rationella. Det rationella möter sin gräns när inte ens bråken räcker till för att bli exakt. Problemet dyker upp redan när vi sysslar med cirklar. Vid första anblick har en cirkel med diametern ett en omkrets på ungefär tre. Går vi lite närmare upptäcker vi att det är snarare 3,1. Och ännu närmare 3,14. Så kan vi fortsätta. Problemet är att bråken aldrig blir exakta. Tjugotvå sjundedelar är ganska nära, men inte exakt. Förhållandet mellan cirkelns diameter och omkrets är i själva verket irrationellt. Vi kallar det π och säger att det tillhör de reella talen. Glöm naturen! Här träder vi in i det reella, det verkliga! Nu fungerar det att dra bort, att subtrahera, utan att vi stöter på några gränser. Några konstanter har dykt upp som måste definieras, men utöver det funkar det ganska bra.

Ett objekt, en ren abstraktion, uppfinns och utifrån det etableras ett system. Objekten, talen, relaterar till varandra. De är vad de gör. De ger systemen regler eller lagar som säger hur vi kan navigera inom systemet. Det är begränsat och vi stöter fort på gränserna. Nya objekt läggs till för att utöka systemet och göra mer operationer möjliga. Reglerna eller lagarna blir också fler såklart och snart blir det väldigt komplext. Det är som en expanderande cirkel. Innerst de naturliga talen, sedan de rationella och efter det de reella. Fler nivåer tillkommer senare. Nivåer av förståelse i ett logiskt uppbyggt system, som en slags pyramid.

Var det såhär det gick till? Uppfann någon någongång det första talet, lekte med det och upptäckte gränserna och la till fler tal, och så vidare? Inget sådant får vi lära oss. Det är kanske bara jag med min vilja att tänka historiskt som frågar efter det. Tänk inte på det, räkna bara. Det är bara att acceptera reglerna eller lagarna och träna på att navigera i systemet. Det är synd och ganska tråkigt. Det hade varit roligare att få utforska gränserna, systemets skarvar. Jag inbillar mig att det också skulle underlätta förståelsen, av systemets koherens och användbarhet, kanske till och med räknandet. Men vem har tid. I en annan skola kanske, i en annan tid.